Lo que Dios quiere decir con "escribir 'la Ley' en nuestros corazones" es que nos pondría amor hacia el [Dios] y hacia nuestro prójimo:

Jeremías 31

33 Pero este es el pacto que haré con la casa de Israel después de aquellos días, dice Jehová: Daré mi ley en su mente, y la escribiré en su corazón;(1) y yo seré a ellos por Dios, y ellos me serán por pueblo. 34 Y no enseñará más ninguno a su prójimo, ni ninguno a su hermano, diciendo: Conoce a Jehová; porque todos me conocerán, desde el más pequeño de ellos hasta el más grande, dice Jehová; porque perdonaré la maldad de ellos, y no me acordaré más de su pecado

Ese conocer tiene que ver no con un simple conocimiento intelectual sino con sentir amor hacia Dios, desde el más grande hasta el más pequeño de los hijos de su pueblo "todos le conocemos" (¡le amamos!).

Todos tienen la ley escrita en el corazón

No es el simple conocimiento de la ley, la cual todo ser humano lo puede tener y de hecho la tiene. Todos los hombres (seres humanos) impíos "tienen" la ley de Dios en sus corazones y aún así no la obedecen...

Romanos 2

14 Porque cuando los gentiles que no tienen ley, hacen por naturaleza lo que es de la ley, éstos, aunque no tengan ley, son ley para sí mismos, 15 mostrando la obra de la ley escrita en sus corazones, dando testimonio su conciencia, y acusándoles o defendiéndoles sus razonamientos, 16 en el día en que Dios juzgará por Jesucristo los secretos de los hombres, conforme a mi evangelio.

El pueblo de Israel tenía la ley escrita en su corazón y no la seguía, etc. La razón por la que los diez mandamientos fueron escritos en 'tablas de piedra' era para tipificar [y demostar] la dureza del corazón del TODOS los hombres (judios y gentiles). La nación de Israel fue utilizada para traer al mundo esta demostración de Dios...

Ezequiel 36

Os daré corazón nuevo, y pondré espíritu nuevo dentro de vosotros; y quitaré de vuestra carne el corazón de piedra, y os daré un corazón de carne. 27 Y pondré dentro de vosotros mi Espíritu, y haré que andéis en mis estatutos, y guardéis mis preceptos, y los pongáis por obra.

El hecho y la prueba de que la ley está en sus corazones es que ellos (los pecadores) saben lo que es bueno y lo que es malo pero aun así desobedecen a Dios (le conocen pero no le aman) porque su corazón de piedra no ha sido transformado por el Espiritu Santo. Cuando el Espiritu Santo transforma el corazón y pone "amor para Dios" en el, entonces puede el hombre ser salvo desde el mas chico hasta el mas viejo. Lo que Dios ha hecho es darnos "un nuevo corazón" de carne para que le amemos...

Mateo 22

37 Jesús le dijo: Amarás al Señor tu Dios con todo tu corazón, y con toda tu alma, y con toda tu mente.(1) 38 Este es el primero y grande mandamiento. 39 Y el segundo es semejante: Amarás a tu prójimo como a ti mismo.(2) 40 De estos dos mandamientos depende toda la ley y los profetas.

Y esos dos mandamientos es lo que el hombre necesita, AMOR hacia Dios y hacia el prójimo en su corazón.

Romanos 5

1 Justificados, pues, por la fe, tenemos paz para con Dios por medio de nuestro Señor Jesucristo; ...porque el amor de Dios ha sido derramado en nuestros corazones por el Espíritu Santo que nos fue dado.

Romanos 13

9 Porque: No adulterarás,(1) no matarás, ...(5) y cualquier otro mandamiento, en esta sentencia se resume: Amarás a tu prójimo como a ti mismo.(6) 10 El amor no hace mal al prójimo; así que el cumplimiento de la ley es el amor. 11 Y esto, conociendo el tiempo, que es ya hora de levantarnos del sueño; porque ahora está más cerca de nosotros nuestra salvación que cuando creímos.

Pablo testifica a los Corintios acerca de la "ley escrita en su corazón" y dice que "sois vosotros", dando a entender de que manera tan profunda como les amaba... "como a el mismo", los llevaba en su corazón.

2 Corintios 3

2 Nuestras cartas sois vosotros, escritas en nuestros corazones, conocidas y leídas por todos los hombres; 3 siendo manifiesto que sois carta de Cristo expedida por nosotros, escrita no con tinta, sino con el Espíritu del Dios vivo; no en tablas de piedra,(1) sino en tablas de carne del corazón.